Комплексни бројеви. Значење и еволуција "имагинарних количина"

Бројеви су основни математички објекти,неопходна за различите калкулације и прорачуне. Све природне, цјеловите, рационалне и ирационалне нумеричке вриједности формирају скуп тзв. Реалних бројева. Али постоји и прилично необична категорија - сложени бројеви, које је Рене Десцартес дефинисао као "имагинарне вредности". И један од водећих математичара осамнаестог века, Леонард Еулер је предложио да их означим словом и из француске речи имагинаре (имагинарно). Који су комплексни бројеви?

Такозвани изрази облике а + би, у којима је аи б су стварни бројеви, и ја је дигитални индикатор посебне вриједности, квадрата је -1. Операције на сложеним бројевима врше се истим правилима као и различите математичке операције на полиномима. Ова математичка категорија не изражава резултате било каквих мерења или калкулација. Да би то урадили, довољно је имати стварне бројеве. За шта онда стварно требају?

Комплексни бројеви, као математички концепт,су неопходни јер одређене једначине са стварним коефицијентима немају решења у региону "обичних" бројева. Сходно томе, да би проширили обим рјешавања неједнакости, постало је неопходно увести нову математичку категорију. Комплексни бројеви, који углавном имају апстрактну теоријску вредност, дозвољавају решавање таквих једначина као к² +1 = 0. Треба напоменути да, упркос привидно формалности, ова категорија бројева прилично активни и широко се користи, на пример, да се реши низ практичних проблема теорије еластичности, електротехнике, аеродинамика и хидромеханика, атомске физике и других научних дисциплина.

Користе се модул и комплексни бројни аргументкада конструишете графиконе. Овај облик писања се назива тригонометријски. Поред тога, геометријска интерпретација ових бројева додатно је проширила обим њихове примене. Постало је могуће користити их за различите картографске прорачуне.

Математика је прошла далеко од најједноставнијегприродних бројева комплексним комплексним системима и њиховим функцијама. На ову тему можете написати посебан уџбеник. Овде разматрамо само неке еволуционе тренутке теорије бројева, тако да су сви историјски и научни предуслови за појаву дате математичке категорије постали јасни.

Разматрани су стари грчки математичари"Прави" искључиво природни бројеви, који се могу користити за бројање било чега. Већ у другом миленијуму пре нове ере. е. древни Египћани и Вавилонци у различитим практичним прорачунима активно користе фракције. Следећа важна прекретница у развоју математике била је појављивање негативних бројева у Древној Кини две стотине година пре наше ере. Такође их је користио древни грчки математичар Диопхантус, који је познавао правила најједноставнијег рада на њима. Уз помоћ негативних бројева постало је могуће описати различите промјене у количинама не само на позитивној равни.

У седмом веку нашег времена прецизно је успостављен,да квадратни корени позитивних бројева увек имају две вредности - осим позитивних, такође негативних. Од другог, сматра се да је немогуће извући квадратни корен уобичајеним алгебарским методама тог времена: не постоји вриједност к таква да је к² = ─ 9. Дуго времена није било битно. И тек у шеснаестом веку, када су се кубичке једначине појавиле и почеле активно проучавати, постало је потребно извући квадратни корен негативних бројева, јер формула за рјешавање ових израза не садржи само кубичне, већ и квадратне коријене.

Таква формула је беспријекорна ако једначина нијевише од једног стварног корена. У случају присуства три праве корене у једначини, када су излечени, добијен је број са негативном вриједношћу. Стога се испоставило да начин извлачења три корена лежи кроз операцију која је немогућа са тачке гледишта математике тог времена.

Да објасните резултујући парадоксИталијански алгебраист Ј. Цардано је замољен да уведе нову категорију бројева необичне природе, која су се звала сложена. Занимљиво је да је и Цардано себе сматрао бескорисним и на сваки могући начин покушао да избегне коришћење исте математичке категорије коју је предложио. Али већ 1572. године појавила се књига још једног италијанског алгебраиста Бомбеллија, где су детаљна правила пословања на сложеним бројевима.

Током читавог седамнаестог века,дискусију о математичкој природи ових бројева ио могућностима њихове геометријске интерпретације. Такође, техника рада са њима се постепено развијала и побољшавала. И на прелазу 17. и 18. века, општа теорија комплексних бројева је направљен. Огроман допринос развоју и унапређењу теорије функција комплексне променљиве уведена руских и совјетских научника. Мусхелишвили бави у својој примени на проблеме теорије еластичности, Келдиш и ЛАВРЕНТИЕВ комплексни бројеви су коришћени у области хидро и аеродинамике, и Владимир Богољубов - у квантној теорији поља.